Mari descoperiri matematice

       

            Domeniul de studiu cunoscut sub numele istoria matematicii reprezintă o investigare a originii descoperirilor în matematică şi într-un sens mai larg, o investigare a metodelor matematice şi a notaţiilor din trecut.
            Din timpuri străvechi până la Evul Mediu, perioadele de înflorire a creativităţii matematice au fost urmate de secole de stagnare. Începand cu Renaşterea italiană din sec. al 16-lea, noi dezvoltări matematice, interacţionând cu noi descoperiri ştiinţifice, au fost realizate într-un ritm crescător, care continuă şi astăzi.

         Primele descoperiri matematice țin de extragerea rădăcinii pătrate, a rădăcinii cubice, rezolvarea unor ecuații polinomiale, trigonometrie, fracții, aritmetica numerelor naturale etc. 

        Acestea au apărut în cadrul civilizațiilor akkadiene, babyloniene, egiptene, chineze și civilizațiile de pe valea Indului.

Cantitate

         Studiul cantității începe cu numerele (mai întâi cu numerele naturale și întregi) și cu operațiile aritmetice. Alte proprietăți ale întregilor sunt studiate de teoria numerelor, din care au apărut unele rezultate cunoscute, precum Marea teoremă a lui Fermat, dar și unele teoreme încă nerezolvate: teoria numerelor prime gemene și Conjectura Goldbach. Pe masura ce sistemul de numerație a avansat, numerele întregi au fost considerate un subset al numerelor raționale, care la rândul său sunt conținute de mulțimea numerele reale.Numerele reale sunt folosite la reprezentarea funcțiilor continue. Mai târziu au fost introduse numerele complexe, urmate de numerele hipercomplexe: cuaternion, octonion etc. Un alt domeniu de studiu este dimensiunea mulțimilor, care conduce la numerele cardinale și spre un alt concept legat de infinit: numerele alef, care permit o comparație între mulțimi de dimensiune infinită.

Spațiu

           Studiul spațiului a început cu studiul geometriei, mai exact, al geometriei euclidiene. Trigonometria combină spațiul și numerele și cuprinde cunoscuta teoremă a lui Pitagora. Studiile moderne generalizează teoriile asupra spațiului introducând noțiunea de geometrie neeuclidiană în locul celei de geometrie euclidiană.                  Geometria neeuclidiană ocupă un rol central în teoria relativității generalizate și topologie. Cantitatea și spațiul au roluri importante în geometria analitică, geometrie diferențială și geometrie algebrică.

Structură

         Multe obiecte matematice, precum mulțimile de numere și funcțiile, au o structură internă. Proprietățile structurale ale acestor obiecte sunt investigate în studiul grupurilor, inelelor, câmpurilor și altor sisteme abstracte, care sunt la rândul lor studiate de algebra abstractă.              Un concept important în acest domeniu este cel de vector, generalizat în spații vectoriale. Studiul vectorilor combină trei zone fundamentale ale matematicii: cantitatea, structura și spațiul. 

       Algebra vectorială dezvoltă cercetarea într-o a patra zonă de cercetare fundamentală, cea a schimbării. Un număr de probleme vechi din acest domeniu au fost rezolvate folosind teoria lui Galois.

       Matematica a jucat din totdeuna un rol extrem de major în viața cotidiană.Datorită ei,umanitatea se află într-un continuu proces de dezvoltare.Matematica o folosim în viata de zi cu zi. Chiar si în lucruri simple, cînd spunem cît e ceasul sau cand mergem la cumpăraturi.

        Cei mai multi oameni de stiinta depind de matematică pentru descrierea exactă si formulele observatiilor si experimentelor pe care le fac. Matematica este folosita din ce în ce mai mult si în unele stiinte sociale, cum sunt economia, psihologia si sociologia. În industrie toate uzinile au nevoie de ea în cercetare si planificare.

          

          

Read More

Teoreme celebre

      Teorema reprezintă o afirmație al cărei adevăr se stabilește prin demonstrație.
       Fiecare ramură a matematicii este constituită dintr-un șir de teoreme, demonstrația fiecăreia dintre ele sprijinindu-se pe teorema care o precedă.      

TEOREMA LUI PITAGORA

          Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria euclidiană, constituind o relație între cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic. 

        Teorema lui Pitagora afirmă că în orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (latura opusă unghiului drept). 

         Teorema poate fi scrisă sub forma unei relații între cele trei laturi a, b șic, câteodată denumită relația lui Pitagora.

unde c reprezinta lungimea ipotenuzei, iar a si b lungimile celorlalte doua laturi ale triunghiului.

          Deși teorema i se atribuie astăzi filozofului și matematicianului grec antic Pitagora, care a trăit în secolul al VI-lea î.Hr., se știe că a fost cunoscută de mai multe civilizații de-a lungul timpului: indienii antici, asiro-babilonienii, egiptenii antici, chinezii antici și alții.

 TEOREMA LUI THALES

          Thales din Milet (624-546 i. Hr.), dupa cum afirma Proclus, ar fi cunoscut teoremele privitoare la triunghiurile asemenea, cu ajutorul carora a masurat departarea unui vas de la tarmul marii. 

          De asemenea, tot cu ajutorul unor teoreme de geometrie, el ar fi masurat inaltimea marei piramide a lui Keops. Astazi, sub numele de "teorema lui Thales" sunt cunoscute legaturile care exista intr-o configuratie de cinci pucte, ABCDE, unde A, B, D sunt coliniare, A, C, E sunt coliniare, iar DE este paralela cu BC.

        De aici de pot lamuri mai departe asemanarea a doua triunghiuri (sase puncte) si mai departe, asemanarea a doua figuri geometrice in spatiul tridimensional sau cu mai multe dimensiuni. Se poate caracteriza o geometrie prin atributul "thalesiana", indicand ca in acea geomtrie functioneaza teorema lui Thales.

TEOREMA LUI MENELAUS

          Teorema lui Menelaus este una din teoremele clasice ale geometriei. Poartă numele lui Menelau din Alexandria, căruia îi este atribuită.           Dacă punctele  și  se conțin, respectiv, în dreptele  și  ale triunghiului , rezultă că ele sunt coliniare dacă și numai dacă are loc relația:

                       
În particular, din teorema studiată rezultă rapoartele lungimilor:

TEOREMA INALTIMII

Prima teorema a inaltimii

    Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.
   sau
unde CD este înălțimea corespunzatoare ipotenuzei, iar AD și BD sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză.

A doua teoremă a înălțimii

      Produsul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei cu ipotenuza este egal cu produsul catetelor, adică dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu C=90° , iar CD este perpendiculara pe AB. Există relația:

Read More

Aplicatii ale matematicii in astronomie

        Astronomia (din limba   greaca : "astron"=stea,   "nomos"=lege) este stiinta care   se ocupa cu studiul astrilor si a   legilor miscarii lor, al   constelatiilor, galaxiilor si al   universului in totalitatea sa.

   

      De la inceputul existentei sale, astronomia a fost nedespartita de matematica. Combinatia acestor 2 stiinte a dat rezultate incredibile.      

      Contributii importante au avut Thales si Pitagora, descoperirile lor in domeniul geometriei i-au ajutat pe urmasi sa determine forma sferica a Pamantului si sa calculeze astfel de marimi precum raza Pamantului, distanta pana la Luna sau Soane s.a.

  

   

          Magnitudinea aparenta se refera la stralucirea stelelor. Cele mai stralucitoare stele au magnitudinea 1 iar cele mai palide au magnitudinea 6, astfel ca stelele cu magnitudinea 1 sunt de 100 de ori mai stralucitoare decat cele cu magnitudinea 6.
        

De aici rezulta ca diferenta de 5 magnitudini corespunde diferentei de stralucire exact de 100 de ori. Luminozitatea stelelor este o progresie geometrica cu ratia 2.5 si magnitudinea lor este logaritmul strlucirii fizice. 

       Totusi magnitudinea stelei nu reda toata imaginea caci o stea foarte luminoasa dar indepartata pare a fi mai palida decat o stea mai slaba dar apropiata. Pentru aceasta e nevoie de a masura distanta pana la stele. Prin metoda triangulatiei distanta se afla din triunghiul obtinut in care e nevoie sa cunoastem cele 2 unghiuri din care se face observatia si distanta dintre ele.

        O alta metoda este paralaxa stelara. Pe parcursul unui an unghiul dintre pamant si directia spre stea este masurat in iunie si in ianuarie cand planeta noastra se afla in 2 diametrale opuse.  Astfel cunoscand acestea si distanta pana la Soare, se poate afla distanta pana la stea.

     Cum a fost calculata circumferinta Terrei

       

        Eratostene din Cyrene a fost un matematician, poet, atlet, geograf si astronom antic grec.
        El a observat ca la Syene Soarele se afla la amiaza (la 22 iunie) chiar deasupra capului, corpurile nearuncandumbra. La aceeasi data, la Alexandria, situat la N, corpurile au umbra, ceea ce demonstreaza curbura Pamantului.

        Teoretic razele cazatoare pe Pamant sunt paralele si intersectate de o secanta; acestea formeaza 2 unghiuri interne alterne ce sunt congruente. Stiind inaltimea turnului si masurand lungimea umbrei, Eratostene a calculat marimea unghiului format -7,5*., astfel ca si cel de-al doilea unghi are la fel 7,5*. Cunoscand din timp distanta de la Syene pana la Alexandria (800 km) el a alcatuit proportia:

            7.5*..............800 km            

            360*............? (circumferinta)

      Eratostene a obtinut astfel o valoare de 40.000 km, extrem de apropiata de cea reala (40.007,86 km).

            

           Asadar, in spatele tuturor realizărilor noastre de până acum există un instrument care ne permite să descoperim lucrurile despre care ne place să învăţăm. Acest instrument este matematica, iar fără ea Universul ar fi încă învăluit în întuneric.

Read More

Marii matematicieni ai lumii

De-a lungul timpului si a milioanelor de ani matematica a atras cu sine si multe minti geniale care au reusit sa o inteleaga si dezvolte. Mai jos vom aminti cativa dintre marii matematicieni ai lumii si teoriile lor.

Arhimede din Siracuza 

A fost un învățat grec-siceliot al lumii antice. Realizările sale se înscriu în numeroase domenii științifice: matematică, fizică, astronomie, inginerie și filozofie. Carl Friedrich Gauss considera că Arhimede și Isaac Newton au fost cei mai mari oameni de știință din întreaga istorie a civilizației umane.

Descoperiri si inventii:

1.     Coroana de aur

2.     Surubul lui Arhimede

3.    Gheara lui Arhimede

4.     Folosirea oglinzilor parabolice incendiatoare in timpul asediului Siracuzei

Curiozitate: Când poligoanele au avut 96 de laturi fiecare, el a calculat lungimile laturilor lor și a arătat că valoarea lui π se află între 3¹⁰⁄₇₁ (aproximativ 3.1408) și 3¹⁄₇ (aproximativ 3.1429), fiind compatibilă cu valoarea actuală de aproximativ 3,141592653.

Galileo Galilei

 A fost un fizician, matematician, astronom și filosof italian care a jucat un rol important în Revoluția Științifică. Printre realizările sale se numără îmbunătățirea telescoapelor și observațiile astronomice realizate astfel, precum și suportul pentru copernicanism. Galileo a fost numit „părintele astronomiei observaționale moderne”; „părintele fizicii moderne”; „părintele științei”; și „părintele științei moderne”. 

 Analizele și demonstrațiile se bazau pe teoria eudoxiană a proporțiilor, așa cum era ea prezentată în a cincea carte a Elementelor lui Euclid. Această teorie apăruse doar cu un secol în urmă, datorită traducerilor precise ale lui Tartaglia și ale altora; dar până la sfârșitul vieții lui Galileo ea fusese deja depășită de metodele algebrice ale lui Descartes.

Galileo a produs o lucrare originală și chiar profetică în matematică: Paradoxul lui Galileo, care arată că există tot atâtea pătrate perfecte câte sunt și numere întregi, deși majoritatea numerelor nu sunt pătrate perfecte. Asemenea aparente contradicții au fost explicate după 250 de ani în lucrările lui Georg Cantor.

Pitagora

 

A fost un filosof și matematician grec, originar din insula Samos, întemeietorul pitagorismului, care punea la baza întregii realități, teoria numerelor și a armoniei. A fost și conducătorul partidului aristocratic din Crotone (sudul Italiei). Scrierile sale nu s-au păstrat. Tradiția îi atribuie descoperirea teoremei geometrice și a tablei de înmulțire, care îi poartă numele. Ideile și descoperirile lui nu pot fi deosebite cu certitudine de cele ale discipolilor apropiați.

Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria euclidiană, constituind o relație între cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic. Teorema lui Pitagora afirmă că în orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (latura opusă unghiului drept). 

Blaise Pascal

 

A fost un matematician, fizician și filosof francez având contribuții în numeroase domenii ale științei, precum construcția unor calculatoare mecanice, considerații asupra teoriei probabilităților, studiul fluidelor prin clarificarea conceptelor de presiune și vid. În urma unei revelații religioase în 1654, Pascal abandonează matematica și științele exacte și își dedică viața filozofiei și teologiei.

La vârsta de 16 ani Pascal a prezentat primul său rezultat original cunoscut sub numele de triunghiul lui Pascal (teorema lui Pascal), iar la 18 ani a construit primul calculator mecanic, pentru a-și ajuta tatăl la calculul taxelor.

Euclid 

A fost un matematician grec care a trăit și a predat în Alexandria în Egipt, în timpul domniei lui Ptolemeu I (323 – 283 î.Hr.).

Euclid a expus sistematic rezultatele geometrice cunoscute în vremea sa, datorate predecesorilor săi în dezvoltarea geometriei în tratatul Elementele.

Deși multe din rezultatele din Elemente au fost descoperite de matematicienii de dinainte, una dintre realizările lui Euclid a fost să le prezinte într-un singur cadru, logic și coerent, pentru a putea fi ușor folosite. A fost inclus și un sistem riguros de demonstrații matematice ce constituie baza matematicii încă și astăzi, 23 de secole mai târziu.

Chiar dacă a fost cunoscută în special pentru informațiile din geometrie, cartea Elementele include de asemenea și teoria numerelor. Este vorba despre legătura dintre numerele perfecte și numerele prime de tip Mersenne, despre infinitatea de numere prime.

Isaac Newton 

A fost un renumit om de știință englez, alchimist, teolog, mistic, matematician, fizician și astronom, președinte al Royal Society. Isaac Newton este savantul aflat la originea teoriilor științifice care vor revoluționa știința, în domeniul opticii, matematicii și în special al mecanicii.

·       Binomul lui Newton, formula de dezvoltare a puterii sumei: (a+b)ⁿ

·       A inițiat (a "inventat", de fapt) conceptul de limită, cel de derivată și cel de integrală.

·       Alături de Leibniz este fondatorul calculului diferențial și integral. Cei doi titani au ajuns, în mod inevitabil la crearea acestui domeniu al matematicii pe două căi foarte diferite. Leibniz a pornit de la soluționarea matematică a nedeterminărilor "clasice" din matematică, iar Newton a plecat de la definirea corectă a vitezei și accelerației, ca variații ale vectorilor de poziție, respectiv viteză, în variații infinitezimale ale timpului în care are loc o mișcare mecanică.

Read More